iSoul In the beginning is reality

# Invariant interval check

It’s a good exercise to check the invariant interval for both subluminal and superluminal objects. Let’s do this with the delta form of the Lorentz transformations:

Subluminal case:

This is a check that c²(Δ)² – (Δ)² – (Δ)² – (Δ)² = c²(Δt)² – (Δx)² – (Δy)² – (Δz)².

The Lorentz transformation is

= γ (cΔt – vΔx/c), Δx´ = γx – vΔt), Δ = Δy, Δz´= Δz.

So we have

γ² (cΔt – vΔx/c)² – γ²x – vΔt)² – (Δy)² – (Δz

= γ² (c²(Δt)² – vΔtΔx + v²(Δx)²/c² – (Δx)² + vΔtΔx  – v²(Δt)²) – (Δy)² – (Δz

= γ² ((c² – v²)(Δt)² – (1 – v²/c²)(Δx)²) – (Δy)² – (Δz

= γ² (1 – v²/c²)(c²(Δt)² – (Δx)²) – (Δy)² – (Δz

= c²(Δt)² – (Δx)² – (Δy)² – (Δz)².

Superluminal case:

This is a check that c²(Δ)² – c²(Δt1´)² – c²(Δt2´)² – c²(Δt3´)² = (Δr)² – c²(Δt1)² – c²(Δt2)² – c²(Δt3)².

The Lorentz transformation is

Δ = γr – c²Δt/v), cΔt1´γ (cΔt1cΔr/v), cΔt2´ = cΔt2, cΔt3´ = cΔt3.

So we have

γ²r – c²Δt/v)² – γ² (cΔt1cΔr/v)² – c²(Δt2)² – c²(Δt3

= γ² ((Δr 2ΔrΔt1/v + c4t1/v² – c²(Δt1)² + 2Δt1Δr/v – c²(Δr)²/v²) – c²(Δt2)² – c²(Δt3

= γ² ((Δr)²(1 – c²/v²) – c²(Δt1)²(1 –  c²/v²)) – c²(Δt2)² – c²(Δt3

= (Δr)² – c²(Δt1)² – c²(Δt2)² – c²(Δt3)².