Let’s begin with the space-time invariant interval r´² − ct´² = r² − ct². Then let us solve the equations:
r´ = Ar + Bt and t´ = Cr + Dt.
⇒ r´ = 0 = Ar + Bt → r = −tB/A = vt where v = −B/A {or} B = −Av
⇒ r´ = Ar + Bt = A(r − vt)
⇒ A²(r − vt)² − c²(Cr + Dt)² = r² − c²t²
⇒ A²r² − 2A²vrt + A²v²t² − C²c²r² − 2CDc²rt − D²c²t² = r² − c²t²
⇒ (A² − C²c²)r² = r² {or} A² − c²C² = 1
⇒ (A²v² − D²c²)t² = −c²t² {or} D²c² − A²v² = c²
⇒ (2A²v + 2CDc²)rt = 0 {or} CDc² = −A²v
⇒ C²c² = A² − 1
⇒ D²c² = c² + A²v²
⇒ C²D²c²c² = (A² − 1)(c² + A²v²) = A²A²v²
⇒ A²c² − c² + A²A²v² − A²v² = A²A²v²
⇒ A²c² − A²v² = c²
⇒ A²(c² − v²) = c²
⇒ A² = c²/(c² − v²)
⇒ A² = 1/(1 − v²/c²) = γ²
⇒ B = −vγ
⇒ C²c² = γ² − 1
⇒ C²c² = (v²/c²)γ²
⇒ C = −(v/c²)γ
⇒ D²c² = c² + v²γ² = c²γ²
⇒ D² = γ² {or} D = γ
We have
⇒ A = γ
⇒ B = −γv
⇒ C = −γv/c²
⇒ D = γ
The Lorentz transformations are then
r´ = γ(r − vt)
t´ = γ(t − rv/c²)
Let’s begin with the space-time invariant interval t´² − k²r´² = t² − k²t² with k = pace of light. Then let us solve the equations:
t´ = At + Br and r´ = Ct + Dr.
⇒ t´ = 0 = At + Br → t = −rB/A = ur where u = −B/A {or} B = −Au
⇒ t´ = At + Br = A(t − ur)
⇒ A²(t − ur)² − k²(Ct + Dr)² = t² − k²r²
⇒ A²t² − 2A²urt + A²u²r² − C²k²t² − 2CDk²rt − D²k²r² = t² − k²r²
⇒ (A² − C²k²)t² = t² {or} A² − C²k² = 1
⇒ (A²u² − D²k²)r² = −k²r² {or} D²k² − A²u² = k²
⇒ (2A²u + 2CDk²)rt = 0 {or} CDk² = −A²u
⇒ C²k² = A² − 1
⇒ D²k² = k² + A²u²
⇒ C²D²k²k² = (A² − 1)(k² + A²u²) = A²A²u²
⇒ A²k² − k² + A²A²u² − A²u² = A²A²u²
⇒ A²k² − A²u² = k²
⇒ A²(k² − u²) = k²
⇒ A² = k²/(k² − u²)
⇒ A² = 1/(1 − u²/k²) = μ²
⇒ B = −uμ
⇒ C²k² = μ² − 1
⇒ C²c² = (v²/c²)γ²
⇒ C = −(u/k²)μ
⇒ D²k² = k² + u²μ² = k²μ²
⇒ D² = μ² {or} D = μ
We have
⇒ A = μ
⇒ B = −μu
⇒ C = −μu/k²
⇒ D = μ
The Lorentz transformations are then
t´ = μ(t − ur)
r´ = μ(r − tu/k²)